Как найти площадь треугольника – все способы с формулами в одной статье

Площадь треугольника по основанию и высоте

Сторона a
Высота h

Основанием треугольника может быть выбрана любая из сторон треугольника.

Площадь произвольного треугольника по стороне и двум прилежащим углам

Сторона a
Угол β°
Угол α°

Разносторонний треугольник

  1. По трём сторонам
    S = √(p·(p – a)·(p – b)·(p – c)), P = (a+b+c)/2 – формула Герона,
    где a, b, c – стороны треугольника, p – полупериметр.
  2. По двум сторонам и углу между ними
    S = 0,5·a·b·sin α,
    где a и b – стороны, α – угол между ними.
  3. По стороне и двум прилежащим углам
    S = a²·sin α·sin β/2sin(α + β),
    где а – сторона, α и β – прилежащие углы.
  4. По высоте и основанию
    S = 0,5·a ·h,
    где a – сторона, h – опущенная на неё высота.
  5. По координатам вершин
    Вычисление длин сторон:
    АB = √((x1 – x2)² + (y1 – y2)² + (z1 – z2)²);
    BC = √((x2 – x3)² + (y2 – y3)² + (z2 – z3)²);
    CA = √((x3 – x1)² + (y3 – y1)² + (z3 – z1)²);
    После этого необходимо подставить полученные значения в формулу Герона.
  6. По координатам векторов
    S = 0,5·|a × b| – половина модуля векторного произведения векторов.

Через длину трех сторон (формула Герона)

Примечание: если результат равен нулю, значит отрезки с указанными длинами не могут образовывать треугольник (следует из свойств треугольника).

Формула расчета:

p – полупериметр, который считается так:

Площадь прямоугольного треугольника через 2 стороны

{S= dfrac{1}{2} cdot a cdot b}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по двум сторонам:

{S= dfrac{1}{2} cdot a cdot b}, где a, b — стороны треугольника.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол

{S= dfrac{1}{4} cdot c^2 cdot sin (2 alpha)}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу:

{S= dfrac{1}{4} cdot c^2 cdot sin (2 alpha)}, где c — гипотенуза треугольника, α — любой из прилегающих острых углов.

Как найти площадь любого треугольника

Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.

Через радиус вписанной окружности.

a, b, с – стороны треугольника,
p – полупериметр треугольника,
r – радиус вписанной окружности.

Через радиус описанной окружности.

a, b, с – стороны треугольника,
R – радиус описанной окружности.

Способ расчета площади треугольника

Основание: Высота:

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек (вершины треугольника), не лежащих на одной прямой, соедененных тремя отрезками (стороны треугольника).
Формула площади треугольника: ,
где a – сторона треугольника, h – высота

Зная две стороны и угол между ними

  1. Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
  2. Найдите синус угла между выбранными сторонами.
  3. Перемножьте полученные числа.
  4. Поделите результат на два.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a и b — стороны треугольника.
  • α — угол между сторонами a и b.

Через сторону и прилежащие к ней углы

Сторона треугольника a Угол между сторонами β Угол между сторонами γ Результат

Таблица с формулами площади треугольника

исходные данные
(активная ссылка для перехода к калькулятору)
эскиз формула
Для всех треугольников
1 основание и высота
2 две стороны и угол между ними
3 радиус вписанной окружности и три стороны
4 радиус описанной окружности и три стороны
5 три стороны
(по формуле Герона)
где 
6 сторона и два прилежащих угла
Для равнобедренных треугольников
7 боковые стороны и основание
8 боковые стороны и угол между ними
9 боковые стороны, основание и угол между боковыми сторонами и основанием
10 основание и угол между боковыми сторонами
11 высота и основание
Для равносторонних треугольников
12 сторона
13 высота
14 радиус вписанной окружности
15 радиусу описанной окружности
Для прямоугольных треугольников
16 два катета
17 гипотенуза и угол
18 катет и угол
19 отрезки, на которые делит гипотенузу вписанная окружность
20 гипотенуза и радиус вписанной окружности
21 три стороны
(по формуле Герона)
где  


Определения

Площадь треугольника – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной тремя отрезками (сторонами), которые соединяют три точки (вершины), не лежащие на одной прямой.

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.


Источники

  • https://doza.pro/art/math/geometry/area-triangle
  • https://CalcSoft.ru/kalkulyator-ploschadi-treugolnika
  • https://MicroExcel.ru/kalkulyator-ploshad-treugolnika/
  • https://mnogoformul.ru/ploshhad-treugolnika-formuly-i-kalkulator-online
  • https://vsvoemdome.ru/obrazovanie/kak-nayti-ploschad-treugolnika
  • https://Lifehacker.ru/kak-najti-ploshhad-lyubogo-treugolnika/
  • https://calc.by/math-calculators/area-triangle.html
  • https://www.calc.ru/ploshchad-treugolnika.html
  • https://allcalc.ru/node/25

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Юридическая консультация в Москве, статьи по праву и судам
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: