Площадь четырехугольника – формулы, примеры расчета

Определения

Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь четырехугольника – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.

Расчет площади

Инструкция по использованию: введите известные значения, затем нажмите кнопку “Рассчитать”. В результате будет вычислена площадь фигуры с учетом указанных данных.

1. Через диагонали и угол между ними

Формула расчета

2. По всем сторонам (формула Брахмагупты)

Примечание: Если вокруг четырехугольника можно описать окружность.

Формула расчета

p – полупериметр четырехугольника, равняется:

3. Через полупериметр и радиус вписанной окружности

Формула расчета

S = p ⋅ r

Площадь четырехугольника, заданного координатами

Формула площади четырехугольника по координатам используется для расчета площади фигур, которые располагаются в системе координат. В этом случае для начала требуется расчет длин необходимых сторон. В зависимости от типа четырехугольника может меняться и сама формула. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника, используя квадрат, который лежит в системе координат XY.

Дан квадрат ABCD, расположенный в системе координат XY. Найти площадь фигуры, если координаты вершин AB(10;8); CDДан квадрат ABCD, расположенный в системе координат XY. Найти площадь фигуры, если координаты вершин AB(10;8); CD

Мы знаем, что все стороны фигуры равны, и формула площади квадрата находится по формуле:
Найдем одну из сторон, к примеру, AB:
Подставим значения в формулу:
Знаем, что все стороны одинаковые. Подставляем значение в формулу расчета площади:

Похожие записи
  • Площадь квадрата
  • Площадь прямоугольника
  • Площадь ромба
  • Площадь поверхности цилиндра
  • Площадь кольца

Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними

Площадь четырехугольника по сторонам

Когда известны длины сторон фигуры, можно применить формулу площади четырехугольника по сторонам. Для применения этих расчетов потребуется найти полупериметр фигуры. Мы помним, что периметр – это сумма длин всех сторон. Полупериметр – это половина периметра. В нашем прямоугольнике со сторонами a, b, c, d формула полупериметра будет выглядеть так:
Зная стороны, выводим формулу. Площадь четырехугольника представляет собой корень из произведения разности полупериметра с длиной каждой стороны:

Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через стороны. Дан произвольный четырехугольник со сторонами a = 5 см, b = 4 см, с = 3 см, d = 6 см. Для начала найдем полупериметр:

используем найденное значение для расчета площади:

Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты

Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.

Более сложный пример

Рассмотрим многоугольник, представленный на рисунке и заданный точками (3, 4), (5, 11), (12, 8), (9, 5), (5, 6):

Объяснение названия

Формула называется «формулой шнурков» из-за общего метода, используемого для её вычисления. Этот метод использует матрицу. В качестве примера возьмём треугольник с вершинами (2, 4), (3, −8), (1, 2). Затем построим следующую матрицу, «обходя вокруг» треугольника и заканчивая начальной точкой:

Сначала проведём диагональ вниз и вправо косой чертой, как показано ниже:

и перемножим пары чисел, соединённых чертой, а затем сложим все суммы:

(2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = −6.

Сделаем то же самое, проводя косую черту по диагонали вниз и влево, как показано ниже:

(4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8.

Затем вычтем сумму второй группы из первой и возьмём модуль:

|(−6) − (8)| = 14.

Деление результата на два даёт площадь.

Организация чисел в матрицу с диагональными линиями упрощает запоминание формулы.

В результате проделанной операции с рисованием диагональных (косых) линий матрица с числами напоминает зашнурованную обувь, отсюда и происходит название «алгоритма шнурования».

Таблица с формулами площади четырехугольника

исходные данные
(активная ссылка для перехода к калькулятору)
эскиз формула
1 диагональ и угол между ними
2 стороны и углы между этими сторонами
где  ,
3 стороны
(по Формуле Брахмагупты)
где 
4 стороны и радиус вписанной окружности
где 
5 стороны и углы между ними

Источники

  • https://doza.pro/art/math/geometry/area-tetragon
  • https://MicroExcel.ru/ploshad-chetyrekhugolnika-kalkulyator/
  • https://2mb.ru/matematika/geometriya/ploshhad-chetyrexugolnika/
  • https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D0%B8_%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%B0

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Юридическая консультация в Москве, статьи по праву и судам
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: